用 MATLAB + CVX 调用 MOSEK/SeDuMi/SDPT3 求解二维 LP 与 QP，并读懂命令行输出

CVX 是 MATLAB 里的建模层：用接近数学形式的语句写出目标函数和约束，CVX 会把它转换成求解器（MOSEK / SeDuMi / SDPT3 等）能处理的标准形式，然后调用底层求解器求解。 这篇博客用两个二维决策变量的小例子串起来：

1. 线性规划（LP，Linear Programming）：如何在 MATLAB 中用 CVX 调用 MOSEK（也给出如何切换到 SeDuMi / SDPT3）。
2. 二次规划（QP，Quadratic Programming）：如何用 CVX 求解凸 QP。

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0. 环境准备与基本流程

• 安装并初始化 CVX（只需一次）：

  cvx_setup

• 在 MATLAB 中，CVX 的典型结构是：

  cvx_begin
    cvx_solver mosek      % 或 sdpt3 / sedumi ...
    variable x(2)
    minimize( ... )
    subject to
        ...
  cvx_end

  • 想看求解器命令行输出：不要写 cvx_begin quiet
  • 切换求解器：改 cvx_solver mosek / cvx_solver sdpt3 / cvx_solver sedumi
    • CVX 会在每个模型开始时读取当时的设置/或使用块内设置
    • 可以像上面这样写在 cvx_begin ... cvx_end 里面，也可以在 cvx_begin 之前设置
      • 写在 cvx_begin ... cvx_end 里面：本次模型专用的设置，通常不会影响后面其他 cvx_begin 的 solver
      • 写在 cvx_begin 之前：全局设置，后面所有的 CVX 模型默认都用它，直到再次 cvx_solver xxx 改掉

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1 二维 LP 示例

1.1 问题定义

令 \(x=[x_1,x_2]^\top \in \mathbb{R}^2\)，考虑线性规划：

\[\begin{eqnarray} \min_{x\in\mathbb{R}^2} \quad &&f(x)=x_1+2x_2 \nonumber\\ \text{s.t.} \quad &&x_1 \ge 0,\quad x_2 \ge 0 \nonumber\\ &&x_1 \le 2,\quad x_2 \le 2 \nonumber\\ &&x_1+x_2 \ge 1 \nonumber\\ &&2x_1+x_2 \le 3 \nonumber\\ &&x_1+2x_2 \le 3.5 \end{eqnarray}\]

为了方便写代码，转成 \[\begin{eqnarray} \min_{x\in\mathbb{R}^2} \quad &&c^\top x \nonumber\\ \text{s.t.} \quad &&Ax\le b. \end{eqnarray}\]

其中，

\[\begin{equation} c=[1,2]^\top,\quad A= \begin{bmatrix} -1&0\\ 0&-1\\ 1&0\\ 0&1\\ -1&-1\\ 2&1\\ 1&2 \end{bmatrix},\quad b= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 2\\ 2\\ -1\\ 3\\ 3.5 \end{bmatrix}, \end{equation}\]

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1.2 MATLAB/CVX 代码（LP）

%% LP: minimize c'*x  s.t. A*x <= b
clear; clc;

c = [1;2];
A = [ -1  0;
       0 -1;
       1  0;
       0  1;
      -1 -1;
       2  1;
       1  2];
b = [0;0;2;2;-1;3;3.5];

% 选择求解器（可改成 sedumi / sdpt3）
cvx_solver mosek

cvx_begin
    variable x(2)
    minimize( c' * x )
    subject to
        A*x <= b
cvx_end

fprintf('CVX optimum: x = [%.8f, %.8f]^T, f = %.8f\n', x(1), x(2), cvx_optval);

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2 二维 QP 示例：CVX 求解凸二次规划

2.1 问题定义

这里给一个凸二次目标（\(Q\succeq 0\)），线性约束与上面类似，方便对比：

\[\begin{equation} \min_{x\in\mathbb{R}^2} \quad \frac{1}{2}x^\top Qx + q^\top x \end{equation}\]

取 \[\begin{equation} Q= \begin{bmatrix} 2&0\\ 0&4 \end{bmatrix}\succ 0,\quad q= \begin{bmatrix} -2\\ -6 \end{bmatrix}. \end{equation}\]

约束仍取一个有界可行域（线性约束）： \[\begin{equation} Ax\le b, \end{equation}\] 其中， \[\begin{equation} A =\begin{bmatrix} -1&0\\ 0&-1\\ 1&0\\ 0&1\\ -1&-1\\ 2&1\\ 1&2 \end{bmatrix},\quad b= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 2\\ 2\\ -1\\ 3\\ 3.5 \end{bmatrix}. \end{equation}\]

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2.2 MATLAB/CVX 代码（QP）

%% QP: minimize 0.5*x'*Q*x + q'*x  s.t. A*x <= b
clear; clc;

Q = [2 0; 0 4];   % 正定 -> 凸
q = [-2; -6];

A = [ -1  0;
       0 -1;
       1  0;
       0  1;
      -1 -1;
       2  1;
       1  2];
b = [0;0;2;2;-1;3;3.5];

% 你可以试：mosek / sedumi / sdpt3
cvx_solver mosek

cvx_begin
    variable x(2)
    minimize( 0.5*quad_form(x,Q) + q'*x )
    subject to
        A*x <= b
cvx_end

fprintf('CVX optimum (QP): x = [%.8f, %.8f]^T, f = %.8f\n', x(1), x(2), cvx_optval);

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3 不同求解器命令行输出

用 Matlab 的 CVX 工具箱求解该 LP 问题之后命令行输出的前两行结构类似，均为：

Calling (MOSEK / SeDuMi / SDPT3) (版本号): 7 variables, 2 equality constraints
   For improved efficiency, (MOSEK / SeDuMi / SDPT3) is solving the dual problem.
------------------------------------------------------------

• 这两行：CVX 打印的（不是求解器）

• 为什么会出现 7 variables, 2 equality constraints，而原问题只有 2 个变量？

• 因为 CVX 会把你写的形式 \(Ax ≤ b\) 做等价变换后再交给求解器

• 对 LP 来说，最典型的是交给求解器的是对偶问题：

  • 原问题（primal）：

  \[ \min\ c^\top x\quad \text{s.t.}\ Ax\le b \]

  • 对偶问题（dual）： \[ \max\ -b^\top y\quad \text{s.t.}\ A^\top y + c = 0,\ y\ge 0 \]
    • 这里 \(y \in \mathbb{R}^7\)：每条不等式约束对应一个对偶变量 \(\to\) 7 variables
    • 约束 \(A^\top y + c = 0\) 是 2 维向量等式 \(\to\) 2 equality constraints

下面贴出三种不同求解器（MOSEK / SeDuMi / SDPT3）其余行的输出，再逐块进行解释。

• A. MOSEK 输出
• B. SeDuMi 输出
• C. SDPT3 输出

点击展开：MOSEK 求解 LP 的命令行输出

MOSEK Version 9.1.9 (Build date: 2019-11-21 11:34:40)
Copyright (c) MOSEK ApS, Denmark. WWW: mosek.com
Platform: Windows/64-X86

Problem
  Name                   :
  Objective sense        : min
  Type                   : LO (linear optimization problem)
  Constraints            : 2
  Cones                  : 0
  Scalar variables       : 7
  Matrix variables       : 0
  Integer variables      : 0

Optimizer started.
Presolve started.
Linear dependency checker started.
Linear dependency checker terminated.
Eliminator started.
Freed constraints in eliminator : 0
Eliminator terminated.
Eliminator started.
Freed constraints in eliminator : 0
Eliminator terminated.
Eliminator - tries                  : 2                 time                   : 0.00            
Lin. dep.  - tries                  : 1                 time                   : 0.00            
Lin. dep.  - number                 : 0               
Presolve terminated. Time: 0.00    
Problem
  Name                   :                 
  Objective sense        : min             
  Type                   : LO (linear optimization problem)
  Constraints            : 2               
  Cones                  : 0               
  Scalar variables       : 7               
  Matrix variables       : 0               
  Integer variables      : 0               

Optimizer  - threads                : 16              
Optimizer  - solved problem         : the primal      
Optimizer  - Constraints            : 2
Optimizer  - Cones                  : 0
Optimizer  - Scalar variables       : 7                 conic                  : 0               
Optimizer  - Semi-definite variables: 0                 scalarized             : 0               
Factor     - setup time             : 0.00              dense det. time        : 0.00            
Factor     - ML order time          : 0.00              GP order time          : 0.00            
Factor     - nonzeros before factor : 3                 after factor           : 3               
Factor     - dense dim.             : 0                 flops                  : 3.10e+01   
     
ITE PFEAS    DFEAS    GFEAS    PRSTATUS   POBJ              DOBJ              MU       TIME  
0   4.4e+00  5.5e+00  2.4e+01  0.00e+00   7.571067812e+00   0.000000000e+00   7.7e+00  0.00  
1   8.6e-01  1.1e+00  4.6e+00  3.08e-01   2.073929624e+00   1.959556263e-01   1.5e+00  0.00  
2   5.4e-02  6.8e-02  2.9e-01  7.76e-01   1.101189936e+00   9.746812673e-01   9.4e-02  0.00  
3   2.2e-04  2.8e-04  1.2e-03  9.86e-01   1.000188050e+00   9.996902234e-01   3.8e-04  0.00  
4   2.2e-08  2.8e-08  1.2e-07  1.00e+00   1.000000019e+00   9.999999690e-01   3.8e-08  0.00  
5   2.2e-12  2.8e-12  1.2e-11  1.00e+00   1.000000000e+00   1.000000000e+00   3.8e-12  0.00  
Basis identification started.
Primal basis identification phase started.
Primal basis identification phase terminated. Time: 0.00
Dual basis identification phase started.
Dual basis identification phase terminated. Time: 0.00
Basis identification terminated. Time: 0.00
Optimizer terminated. Time: 0.00    


Interior-point solution summary
  Problem status  : PRIMAL_AND_DUAL_FEASIBLE
  Solution status : OPTIMAL
  Primal.  obj: 1.0000000000e+00    nrm: 2e+00    Viol.  con: 2e-12    var: 0e+00  
  Dual.    obj: 1.0000000000e+00    nrm: 2e+00    Viol.  con: 0e+00    var: 1e-12  

Basic solution summary
  Problem status  : PRIMAL_AND_DUAL_FEASIBLE
  Solution status : OPTIMAL
  Primal.  obj: 1.0000000000e+00    nrm: 2e+00    Viol.  con: 0e+00    var: 0e+00  
  Dual.    obj: 1.0000000000e+00    nrm: 2e+00    Viol.  con: 0e+00    var: 1e-13  
Optimizer summary
  Optimizer                 -                        time: 0.00    
    Interior-point          - iterations : 5         time: 0.00    
      Basis identification  -                        time: 0.00    
        Primal              - iterations : 0         time: 0.00    
        Dual                - iterations : 0         time: 0.00    
        Clean primal        - iterations : 0         time: 0.00    
        Clean dual          - iterations : 0         time: 0.00    
    Simplex                 -                        time: 0.00    
      Primal simplex        - iterations : 0         time: 0.00    
      Dual simplex          - iterations : 0         time: 0.00    
    Mixed integer           - relaxations: 0         time: 0.00    

1. Problem 概览块

   • Type : LO：线性优化（Linear Optimization）
   • Constraints : 2：等式约束数（这里是指对偶问题的等式约束数）
   • Cones : 0：没有锥约束（LP 不需要 SOC/SDP 锥）
   • Scalar variables : 7：变量数（这里是指对偶变量个数）

2. Presolve 块

   • Presolve / Linear dependency checker / Eliminator：预处理（去冗余、检查线性相关、尝试消去变量等）。这个问题很小，所以时间基本是 0。

3. Optimizer / Factor

   • Optimizer - threads : 16：MOSEK 使用的 CPU 线程数（并行数）

   • Optimizer - solved problem : the primal：MOSEK 在内部选择以 primal 形式驱动内点法

     • 这说的是MOSEK 当前拿到的模型的 primal/dual 选择；不等同于原始建模问题的 primal/dual

   • Optimizer - Constraints / Scalar variables / Cones ...：再次汇总求解阶段实际处理的模型规模

   • Factor - setup time ... / order time ...：内点法每次迭代都需要解一组 KKT 线性方程组（一阶最优条件线性化后的方程）

     • MOSEK 会对该线性系统做稀疏分解，setup/order time 是分解准备和排序（重排以减少填充）的时间统计

   • Factor - nonzeros before factor : 3 after factor : 3：分解前/后的非零元数量统计（体现稀疏结构与“填充”程度）

     • 该 LP 问题非常小，所以数字也很小，基本没有填充

   • Factor - dense dim ... flops ...：分解时涉及的致密块维度与浮点运算量（同样因为问题小，所以几乎可忽略）

4. 迭代表

   • ITE：内点法迭代步

   • PFEAS / DFEAS：原始/对偶可行性残差（越接近 \(0\) 越好）

   • GFEAS：与互补性/间隙相关的残差指标（越接近 \(0\) 越好）

   • PRSTATUS：一个“状态指标”，如果问题有最优解它会趋近于 1；否则可能趋近 -1

   • POBJ / DOBJ：原始/对偶目标值估计（收敛时两者几乎相等）

   • MU：障碍参数/互补性量级（应趋近 0）

     • 上面这段输出中，迭代到第 5 步：
       • PFEAS/DFEAS/GFEAS 都到 \(10^{-11}\sim10^{-12}\)
       • POBJ = DOBJ = \(1.0\) 说明收敛到最优。

5. Basis identification

   • 这是一段后处理：内点法解出来的解不一定是基解
   • MOSEK 会尝试构造一个最优基（方便 simplex 热启动/敏感性分析等）

6. Solution summary

   • Problem status : PRIMAL_AND_DUAL_FEASIBLE：原始和对偶都可行
   • Solution status : OPTIMAL：最优
   • Primal/Dual obj：原始/对偶目标值（两者应一致或非常接近）
   • nrm：解向量的无穷范数（MOSEK 用它作为“规模量级”参考）
   • Viol. con / var：约束/变量违反量（应接近 0）

点击展开：SeDuMi 求解 LP 的命令行输出

SeDuMi 1.3.4 by AdvOL, 2005-2008 and Jos F. Sturm, 1998-2003.
Alg = 2: xz-corrector, Adaptive Step-Differentiation, theta = 0.250, beta = 0.500
eqs m = 2, order n = 8, dim = 8, blocks = 1
nnz(A) = 10 + 0, nnz(ADA) = 4, nnz(L) = 3
 it :     b*y       gap    delta  rate   t/tP*  t/tD*   feas cg cg  prec
  0 :            1.56E+01 0.000
  1 :   1.12E-01 3.81E+00 0.000 0.2446 0.9000 0.9000   2.31  1  1  1.6E+00
  2 :   1.01E+00 3.79E-01 0.000 0.0995 0.9900 0.9900   1.09  1  1  2.0E-01
  3 :   9.99E-01 7.67E-03 0.000 0.0202 0.9900 0.9900   1.03  1  1  
iter seconds digits       c*x               b*y
  3      0.5   Inf  1.0000000000e+00  1.0000000000e+00
|Ax-b| =   2.3e-16, [Ay-c]_+ =   0.0E+00, |x|=  1.4e+00, |y|=  1.0e+00

Detailed timing (sec)
   Pre          IPM          Post
5.280E-01    9.440E-01    4.800E-02    
Max-norms: ||b||=2, ||c|| = 2,
Cholesky |add|=0, |skip| = 0, ||L.L|| = 1.

SeDuMi 也是内点法，但它的打印风格不同。

1. 算法配置行
   • Alg = 2: xz-corrector, Adaptive Step-Differentiation, theta = 0.250, beta = 0.500：
     • Alg=2：使用 内点法 的一种实现（带 预测-校正/纠正器，这里标成 xz-corrector）
     • Adaptive Step-Differentiation：步长/更新策略是自适应的（更稳、更快收敛）
     • theta, beta：算法内部的参数（影响步长与中心化程度），通常用户不需要改
2. 问题规模/锥结构摘要
   • eqs m = 2, order n = 8, dim = 8, blocks = 1：
     • m=2：等式约束数量（求解器标准化后形式里的等式条数）
     • n=8 / dim=8：标准化后变量（或锥变量）维度规模
     • blocks=1：锥/块结构只有 1 个块（例如一个线性锥块或合并成一个块）
3. 稀疏性与线性代数工作量提示
   • nnz(A) = 10 + 0, nnz(ADA) = 4, nnz(L) = 3：
     • nnz(A)：约束矩阵 A 的非零元素个数（10+0 常见表示主块+附加块/修正块，关键是稀疏度级别）
     • nnz(ADA)：形成/使用的 正规方程/Schur 补矩阵（常记作 (A D A^)）的非零数，反映求解线性系统的“密度”
     • nnz(L)：Cholesky 分解得到的 下三角因子 L 的非零数（越小越省时省内存）
4. 迭代表
   • it : b*y gap delta rate t/tP* t/tD* feas cg cg prec：
     • it：迭代次数
     • b*y：对偶目标值（通常是 \(b^\top y\) 的当前值）
     • gap：原始-对偶 对偶间隙（衡量离最优还有多远，越接近 0 越好）
     • delta：当前迭代的某种残差/扰动指标（很多时候显示为 0 表示无需额外修正或已很小）
     • rate：gap 等量的收敛比率/下降速度指标（越小通常代表下降更快）
     • t/tP*、t/tD*：原始/对偶方向的步长比例（接近 1 通常表示可以走较大步，进展顺利）
     • feas：可行性/残差的量级指标（越接近 1 或越小越好，取决于 SeDuMi 的定义；结合最后的残差行看最可靠）
     • cg cg：是否使用/以及共轭梯度(CG)相关信息（这里基本一直是 1，表示该步的线性系统解法状态正常）
     • prec：预条件/精度相关指标（数值越小通常表示更精）
5. 收敛汇总行（迭代耗时与目标）
   • iter=3：用了 3 次内点迭代
   • digits=Inf：达到非常高的数值精度/收敛判据（可理解为收敛很好）
   • c*x 与 b*y 相等：原始目标 \(c^\top x\) 和对偶目标 \(b^\top y\) 一致（强收敛信号，对偶间隙基本为 0）
6. 残差与解的规模检查
   • |Ax-b| = 2.3e-16, [Ay-c]_+ = 0.0E+00, |x|=1.4e+00, |y|=1.0e+00：
     • |Ax-b|：原始等式残差，越近似 0，越说明原始可行性极好
     • [Ay-c]_+：对偶不等式的正部违反量（常用于衡量对偶可行性），为 0 表示对偶可行
     • |x|, |y|：解向量的范数大小，主要用于观察解是否爆炸/异常大
7. 计时明细
   • Detailed timing (sec)：
     • Pre：预处理/建模转换、消元、缩放等耗时
     • IPM：内点法主迭代耗时（解线性系统是大头）
     • Post：后处理/恢复原变量、输出整理耗时 > 这块用于判断时间花在哪：建模预处理 vs 主求解
8. 规模与分解信息（数值线性代数提示）
   • Max-norms: ||b||=2, ||c|| = 2,：
     • (b, c) 的最大范数规模，用于判断数值尺度是否正常（过大/过小可能导致病态）
   • Cholesky |add|=0, |skip| = 0, ||L.L|| = 1.：
     • Cholesky 分解时 没有额外填充(add)、也没有跳过(skip) —— 说明分解过程顺利稳定
     • ||L.L||：分解因子的量级提示（这里为 1，尺度正常）

点击展开：SDPT3 求解 LP 的命令行输出

 num. of constraints =  2
 dim. of linear var  =  7
*******************************************************************
   SDPT3: Infeasible path-following algorithms
*******************************************************************
 version  predcorr  gam  expon  scale_data
    NT      1      0.000   1        0    
it pstep dstep pinfeas dinfeas  gap      prim-obj      dual-obj    cputime
-------------------------------------------------------------------
 0|0.000|0.000|9.4e+00|5.5e+00|7.0e+02| 5.500000e+01  0.000000e+00| 0:0:00| chol  1  1 
 1|1.000|0.935|1.6e-06|4.1e-01|8.9e+01| 4.983854e+01  1.218700e+00| 0:0:01| chol  1  1 
 2|1.000|1.000|9.9e-07|5.9e-03|1.0e+01| 1.047071e+01  3.642978e-01| 0:0:01| chol  1  1 
 3|0.889|1.000|1.4e-07|5.9e-04|1.2e+00| 1.780218e+00  6.225268e-01| 0:0:01| chol  1  1 
 4|1.000|0.880|5.8e-08|1.2e-04|2.2e-01| 1.181589e+00  9.583666e-01| 0:0:01| chol  1  1 
 5|0.983|0.986|9.5e-10|7.6e-06|3.8e-03| 1.003156e+00  9.993401e-01| 0:0:01| chol  1  1 
 6|0.989|0.989|2.3e-11|6.7e-07|4.3e-05| 1.000035e+00  9.999947e-01| 0:0:01| chol  1  1 
 7|0.989|0.989|4.1e-12|7.3e-09|4.7e-07| 1.000000e+00  9.999999e-01| 0:0:01| chol  1  1 
 8|0.996|1.000|3.8e-14|1.0e-12|6.6e-09| 1.000000e+00  1.000000e+00| 0:0:01|
  stop: max(relative gap, infeasibilities) < 1.49e-08
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 number of iterations   =  8
 primal objective value =  1.00000001e+00
 dual   objective value =  9.99999999e-01
 gap := trace(XZ)       = 6.59e-09
 relative gap           = 2.20e-09
 actual relative gap    = 2.19e-09
 rel. primal infeas (scaled problem)   = 3.82e-14
 rel. dual     "        "       "      = 1.00e-12
 rel. primal infeas (unscaled problem) = 0.00e+00
 rel. dual     "        "       "      = 0.00e+00
 norm(X), norm(y), norm(Z) = 1.4e+00, 1.0e+00, 3.6e+00
 norm(A), norm(b), norm(C) = 5.0e+00, 3.2e+00, 4.5e+00
 Total CPU time (secs)  = 0.70  
 CPU time per iteration = 0.09  
 termination code       =  0
 DIMACS: 4.1e-14  0.0e+00  1.5e-12  0.0e+00  2.2e-09  2.2e-09
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1. 规模概览
   • num. of constraints = 2：SDPT3 接收到的等式约束数量（通常是 CVX 标准化后的形式）
   • dim. of linear var = 7：SDPT3 标准形式中的线性锥/线性部分变量维度（不一定等于原始 LP 的变量个数，是 CVX 转换后的维度）
2. 求解器与算法类型提示（横幅）
   • SDPT3: Infeasible path-following algorithms：
     • 说明 SDPT3 使用的是一类内点法（路径跟随, path-following）实现
     • 这里的 “Infeasible” 是算法名（允许从不可行初始点出发并逐步逼近可行/最优），不表示该问题不可行
3. 关键算法开关/参数
   • version predcorr gam expon scale_data：
     • predcorr = 1：开启预测-校正（predictor-corrector）内点法（通常更快更稳）
     • scale_data = 0：不做（或不启用）数据缩放/归一化处理（有些问题开启缩放会更稳）
     • gam, expon：算法内部参数，一般只需知道这是内点法参数配置
4. 迭代
   • it pstep dstep pinfeas dinfeas gap prim-obj dual-obj cputime ... chol 1 1：
     • it：迭代次数
     • pstep / dstep：本次迭代的原始/对偶步长（越接近 1 通常越顺利）
     • pinfeas / dinfeas：原始/对偶不可行度（残差），越小越好
     • gap：对偶间隙（离最优的差距），越小越好
     • prim-obj / dual-obj：当前原始目标值 / 对偶目标值（收敛时应非常接近）
     • cputime：累计耗时
     • chol 1 1：该迭代主要线性代数步骤采用 Cholesky 分解（后面的数字是内部状态/标记）
   • 迭代过程主要看三件事是否单调变好：
     1. pinfeas/dinfeas 从大到接近 0（可行性越来越好）
     2. gap 快速变小到很小（逼近最优）
     3. prim-obj 与 dual-obj 越来越接近（原始/对偶一致性）
   • 停止条件 stop: max(relative gap, infeasibilities) < 1.49e-08：
     • 停止判据：相对 gap 和 不可行度 的最大值已经小于阈值 \(1.49\times 10^{-8}\)，所以认为收敛
5. 收敛总结
   • primal / dual objective value = ...：原始/对偶目标值，最终非常接近（说明解已稳定）
   • gap = trace(XZ)：SDP/锥规划语境下的互补性度量（对 LP 的锥形式也适用），越接近 \(0\) 越好
   • relative gap / actual relative gap：gap 的相对指标（越接近 \(0\) 越好）
6. 可行性指标（scaled / unscaled）
   • rel. primal(dual) infeas (scaled problem)：若内部做了缩放/等价变换，给出在该尺度下的残差
   • rel. primal(dual) infeas (unscaled problem)：对应原尺度（或恢复后）的残差；这为 0 表示恢复到原问题尺度后可行性很好
7. 范数信息（量级检查）
   • norm(·), norm(·), norm(·) = ...：
     • 给出变量/数据的量级，主要用于诊断数值问题
     • 如果范数量级极端（特别大或特别小），可能暗示病态、缩放需求等
8. 时间与退出码
   • Total CPU time ... / per iteration ...：总耗时/每步耗时
   • termination code = 0：正常收敛结束（一般 0 表示成功）
9. DIMACS 误差向量
   • 一组标准化的误差/残差度量（DIMACS 指标），用于统一评价原始可行、对偶可行、互补性等。
   • 数值越小越好

用 Matlab 的 CVX 工具箱求解该 LP 问题之后命令行输出的最后两行均为：

------------------------------------------------------------
Status: Solved
Optimal value (cvx_optval): +1

• Status: Solved：CVX 的最终状态，问题已被成功求解并满足其收敛/可行性判据（不是“尝试过”，而是认为已找到可接受的最优解）。

• Optimal value (cvx_optval): +1：CVX 记录的最优目标函数值，存放在变量 cvx_optval 里。 这里等于 +1，即定义的目标函数在最优解处的值为 1（符号 “+” 只是显示格式）。

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4 求解 QP（二次规划）时，命令行输出会有什么变化？

通常会有如下变化：

1. MOSEK

   • Type 往往不再是 LO，而会显示为CONIC (conic optimization problem)。
   • 迭代表依然会有 PFEAS/DFEAS/POBJ/DOBJ/MU 这类列（内点法风格非常像）。

2. SeDuMi / SDPT3

   • 由于它们本质上解的是锥规划，CVX 会把 QP 的二次目标转成等价的锥形式（常见是 SOC/旋转二次锥）。
   • 因此日志里经常能看到：锥维度/块结构发生变化（例如 cone blocks、dim/order 等统计改变），迭代列名依旧类似（gap、feas、pinfeas、dinfeas 等）。

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5 在使用 MOSEK 求解器时遇到的问题

检测到线性相关，但 Presolve 后约束数仍显示不变

现象

在用 CVX + MOSEK 求解某个 LP 的对偶问题时，命令行输出中会出现类似信息：

• Linear dependency checker started/terminated

• Lin. dep. - number : 1

• 但在 Presolve terminated 后，摘要里仍显示：

  • Constraints : 3
  • 并且 Freed constraints in eliminator : 0

与此同时，从数学形式上看，该对偶模型的三条不等式约束中，第 3 条确实可由前两条线性组合得到，例如：

• (c1) 形如：\[ a^\top y \le 1 \]
• (c2) 形如：\[ b^\top y \le 2 \]
• (c3) 形如：\[ (a+b)^\top y \le 3 \]

显然 (c3) = (c1)+(c2)，因此 (c3) 是冗余不等式。

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为什么会这样？

MOSEK 日志里的 Constraints : 3 表示模型里线性约束的“行数”，并不等价于“线性无关约束的数量/约束矩阵的秩”。

• 即便存在冗余或线性相关，日志摘要仍可能显示原来的约束条数。

更重要的是： MOSEK 的 linear dependency checker 主要针对的是线性等式（或能导致 KKT 系统奇异的那类依赖）去做秩相关的处理；而这里的相关性发生在 不等式 之间。对于不等式来说：

• 证明“某条不等式被其它不等式蕴含（冗余）”往往更复杂（本质上属于冗余约束检测），求解器通常会做得比较保守；
• 即使检测到“系数行层面”的线性相关，也不一定会把它安全删除（尤其涉及数值容差、边界可行域是否完全等价等问题）；
• 因此会出现：检测到依赖（Lin. dep. number = 1），但 presolve 不删除约束（freed constraints = 0），约束数仍显示为 3。

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实战建议（对建模/求解速度更友好）

• 能人工识别的明显冗余不等式，建议在建模阶段直接删掉。 冗余约束往往会引入退化、增加内点法 KKT 系统的规模或数值负担，删掉通常不会影响结果，反而更稳更快。
• 不要仅根据日志里 Constraints 的数值判断求解器是否做了冗余消除，那只是行数统计，不是独立约束数。

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结语

用 CVX 写 LP/QP 的体验是统一的：写数学模型，CVX负责转换，求解器负责迭代。命令行输出里最“承重”的信息其实就三类：

• 模型规模统计（变量 / 约束 / 锥结构）
• 迭代表（feasibility + gap + objective）
• 最终状态（Solved/Optimal + violation）